音楽の小理屈

平均律と尺度

平均律の周波数

平均律の計算法を紹介します。

平均律というのは、１オクターブを１２に均等に分割することです。１オクターブの周波数比は２ですから、半音の音程は２／１２としたいところですが、そう単純ではありません。

というのは、音程は周波数の比率で決まります。半音の周波数比を x とすれば、ある音（周波数 f ）の半音上の音の周波数は、f*x。すると全音上はそのさらに半音上ですから、 (f*x)*x となります。

このようにして、半音を１オクターブ分を積み重ねると、 f*(x¹²)ということになります。他方、オクターブ上は周波数が２倍になるので、2*f 。そこで、半音を計算するための式は、

これを解くと、半音の周波数比は、２^1/12（＝ 1.0594630943592953 ）となります。半音上の音は、およそ６％周波数が高いことになります。

半音 n 個高い音の周波数比は、

となります。これを実際に計算した結果を半音周波数比表にまとめました。

平均律を元にした尺度

音程差は比率なので、通常ならば乗算（除算)で計算しますが、対数（log）を取るとその値は加減算で計算できます。このとき、１オクターブが1200、つまり、半音が100となるように決めた単位が centで、音程を論じるときには、この値がよく用いられます。周波数比（r）と cent 値 (n) の関係式は次のとおりです。

平均律の音程のうち、純正音程とのずれが問題になる長三度と完全五度について、そのずれのcent値を求めてみます。

まず、長三度の場合です。

周波数波比は、平均律：２^4/12 = 1.2599210498948732 、純正律：５／４です。これから、二つの音程の比を取り、centに換算すると、

となり、音程差は半音の１／１０強だけ平均律の方が高くなっています。ギターをチューニングするとき、３弦と２弦をハーモニックスで合わせたり、気持ちのいい響きで合わせると、純正音程になるので、それより、ちょっと高めにしないと平均律には合いません。

次に五度の場合です。

周波数波比は、平均律：２^7/12 = 1.4983070768766815 、純正律：３／２です。これから、二つの音程の比を取り、centに換算すると、

となり、平均律の方がわずかに低いことになります。

絶対音高

音の高さを周波数で決めるものです。現在は、基準値としてA=440Hz が広く用いられています。しかし、これは、何らかの音楽的な理由で決められたものではなく、また、決められた時期も２０世紀になってからです。それ以前には、各国、あるいは各地でさまざま基準音高が使われていました。

左の表は、A=440Hz の各音の絶対音高を表しますが、基準周波数の欄に別の値たとえば、435などを入れて「再計算」ボタンを押すと、それに応じて計算しなおします。

表を見れば、楽器の音の周波数（Hz）を知ることができます。例えばギターならば、

1E:	329.6275569128699
2B:	246.94165062806206
3G:	195.99771799087463
4D:	146.8323839587038
5A:	110
6E:	82.4068892282175

ベースならば、次のとおりです。

バイオリン＝マンドリンでは、

となります。