平均律の半音の振動比は、そのまま、弦長の比になります。今ならば、(1/2)12を電卓で計算すれば良いのですが、昔は電卓など無いので、簡単な分数比で近似してフレット楽器の製作をしていました。
無理数を有理数（分数）で表すなど、無意味だと書いてあった推理小説があったのですが、実用上差し支えの無い値を求めることは、十分実用的なことだったのです。
半音の振動比を整数比で近似する式は次のとおりです。
(n/m)12=1/2
これを変形して、
(n/m)*21/12=1
左辺の値を評価して、1に近いものを選べばよいことになります。
| n/m | 値 | 誤差(cent) |
|---|
左の表は、誤差 1cent（半音の1/100）以内で、最小の誤差の値を分母の小さい方から求めたものです。計算の範囲は分母を1-1000としました。
現実の楽器で使用される値は、この表の 17/18 です。誤差は半音あたり、0.1cent（1/1000半音）。オクターブでおよそ 1cent です。工作精度や、他の部分の誤差など考えると十分すぎるほどの値です。
ある長さの弦長があれば、その 17/18 の位置が次のフレットの位置となります。それをさらに17/18すれば、次が求まり…といった具合で決めることが出来ます。これは学校で習った、コンパスと定規を使った図形問題の範囲で、かつては、実際に作図してフレット図を作っていたようです。
仮に 17/18 より精度の高い値、例えば、50/53 を使うと理論的な精度は上がりますが、繰り返し作図（53等分を作る）の誤差の方が高くなるので、返って実用的でなくなりそうです。
| n/m | 値 | 誤差(cent) |
|---|---|---|
| 1009/1069 | 0.9999983743765473 | -0.000234528079989157 |
| 1194/1265 | 0.9999991578379436 | -0.0001214983534035402 |
| 1379/1461 | 0.9999997310893006 | -0.00003879561845927012 |
| 1564/1657 | 1.00000016872537 | 0.000024341923388831465 |
| 2943/3118 | 0.9999999636624137 | -0.000005242405646685395 |
| 4507/4775 | 1.0000000348224804 | 0.000005023821898876984 |
| 7450/7893 | 1.0000000067118648 | 9.683174089728285e-7 |
ちなみに、左の表は、同じ計算を1000-10000の範囲までしたもの（スクリプトが遅いので、元の表に入れられませんでした）。最後の 7450/7893 なんて、ものすごい精度ですね。百万分の一centの誤差ですが、４桁の計算だけです。関数電卓を使わなくても計算できそうです。